PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Propiedades

1. Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante:

jAT j = jAj (1)

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

=

______

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

______

2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de sus renglones (o columnas) por una constante distinta de

cero, entonces jBj = k jAj. ______

a1 a2 a3

kb1 kb2 kb3

c1 c2 c3

______

= k

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

______

a1 a2 ka3

b1 b2 kb3

c1 c2 kc3

______

= k

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

3. Si B se obtiene de A intercambiando dos renglones (o columnas) cualesquiera jBj = 􀀀jAj.

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

= 􀀀

______

b1 b2 b3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

______

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

= 􀀀

______

a3 a2 a1

b3 b2 b1

c3 c2 c1

______

4. Si B se obtiene de A sumando un m_ultiplo de un rengl_on (o columna) a otro rengl_on (o columna),

entonces jBj = jAj. ______

a1 a2 a3

ka1 + b1 ka2 + b2 ka3 + b3

c1 c2 c3

______

=

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

______

a1 a2 ka2 + a3

b1 b2 kb2 + b3

c1 c2 kc2 + c3

______

=

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la

diagonal principal. ______

a11 :: ::

0 a22 ::

0 0 a33

______

= a11 a22 a33

6. Si A tiene un rengl_on (o columna) de ceros, entonces jAj = 0.

______

a1 a2 a3

0 0 0

c1 c2 c3

______

= 0

______

a1 a2 0

b1 b2 0

c1 c2 0

______

= 0

7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son iguales, entonces jAj = 0.

______

a1 a2 a3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

______

= 0

______

a1 a2 a1

b1 b2 b1

c1 c2 c1

______

= 0

8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son m_ultiplos entre s__, entonces jAj = 0.

______

a1 a2 a3

ka1 ka2 ka3

c1 c2 c3

______

= 0

______

a1 a2 ka1

b1 b2 kb1

c1 c2 kc1

______

= 0

2

9. Si A es cualquier matriz de n _ n y k es cualquier escalar, entonces

jkAj = kn jAj

10. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores.

jABj = jAj jBj

jA1A2 _ _ _Amj = jA1j jA2j _ _ _ jA3j

Johann Carl Friedrich Gauss

(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.

El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.

En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.

Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.

En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.

Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística. Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los matemáticos».

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a_ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

                                                                                    MATRIZ

ECUACIONES POLINOMIALES

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i es la unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos x y sen x. Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos zzⁿ = 1. tal que
Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

 

COORDENADAS POLARES

Concepto

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posicion de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una linea semi-infinita L saliendo del origen.A L se le conoce tambien como eje polar.

Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo {$\large \theta$};, tendremos un vector definido por las variables r y {$\large \theta$}. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo {$\large \theta$}; en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.

En el sistema de coordenadas polar, el punto P es representado por un tuplo de 2 coordenadas (r,θ). Usando terminos del sistema Cartesiano de coordenadas, 0{$\large \leq{r} $} es la distacia del origen al punto P y 0{$\large \leq{\theta}$}360 (azimut) es el angulo entre el eje x positivo y la linea del origen al punto P.

Defincion en el sistema Cartesiano

Las coordenadas polares r (la coordenada del radio) y {$\large \theta$} (la coordenada angular, comunmente llamada el Angulo polar) estas definidas en el sistema Cartesiano por:

{$\large x=r\cos{\theta}$}

{$\large y=r\sin{\theta}$}

donde r es la distacia radial al origen, y {$\large \theta$} es el angulo contrario a las manecillas del reloj desde del eje X.En terminos de x y y:

{$\large r=\sqrt{x^2+y^2}$}

{$\large \theta=\tan^{−1}{(\frac{y}{x})}$}

La ecuacion de una curva en coordenadas polares es conocida como una ecuacion polar, y el trazo de una curva en coordenadas polares es conocido como un trazo polar.

En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.