VECTORES

VECTORES Y  AXIOMAS
 

1.- Cerradura para la suma
u ̅+v ̅=x ̅  ∈R                                                                  a+a=a ∈R→cumple por definición

2.- Conmutividad de la suma
u ̅+v ̅=v ̅+u ̅                                         a+a=a+a                                             a=a→cumple


3.- Asociatividad de la suma
u ̅+([v) ̅+(w]) ̅=[v ̅+(u]) ̅+w ̅            a+[a+a]=[a+a]+a

a+a=a+a                                                                          a=a→cumple

4.- Existencia de vector neutro e ̅=a
                           Izquierda                                Derecha
                              e ̅+u ̅=(u ) ̅                                                          u ̅+e ̅=u ̅
                             a+a=a                                                          a+a=a
                              a=a→cumple                                             a=a→cumple
5.- Existencia de inverso aditivo  z ̅=a
                          Izquieda                                  Derecha
                             z+u ̅=u ̅                                                          u ̅+z ̅=u ̅
                             a+a=a                                                       a+a=a
                            a=a→cumple                                           a=a→cumple
 

6.- Cerradura para la multiplicación ∞∙u ̅=y ̅ϵ∀
                                           
                                           ∞∙a=aϵ∀→Cumple por definición



7.- Distributiva de la multiplicación para la suma de vectores ∞∙u ̅+v ̅=∞∙u ̅+∞∙v ̅ 
∞(a+a)=∞∙a+∞∙a                     ∞∙a=a+a                                     a=a→cumple

8.- Distributiva de la multiplicación para la suma de escalares

 ∞+βu ̅=∞∙u ̅+β∙u ̅ 
(∝+β)a=∞∙a+β∙a                      a=a+a                                    a=a→cumple


9.- Asociativa de la multiplicación

                                                        ∞∙(β∙u ̅ )=(∞∙β)∙u ̅ 
                                                         ∞∙(β∙a)=(∞∙β)∙a
                                                                     ∞∙a=a
                                                               a=a→cumple
 

10.- Unicidad 1∙u ̅=u ̅ 
1∙a=a                                        

 a=a→cumple

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Propiedades

1. Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante:

jAT j = jAj (1)

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

=

______

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

______

2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de sus renglones (o columnas) por una constante distinta de

cero, entonces jBj = k jAj. ______

a1 a2 a3

kb1 kb2 kb3

c1 c2 c3

______

= k

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

______

a1 a2 ka3

b1 b2 kb3

c1 c2 kc3

______

= k

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

3. Si B se obtiene de A intercambiando dos renglones (o columnas) cualesquiera jBj = 􀀀jAj.

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

= 􀀀

______

b1 b2 b3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

______

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

= 􀀀

______

a3 a2 a1

b3 b2 b1

c3 c2 c1

______

4. Si B se obtiene de A sumando un m_ultiplo de un rengl_on (o columna) a otro rengl_on (o columna),

entonces jBj = jAj. ______

a1 a2 a3

ka1 + b1 ka2 + b2 ka3 + b3

c1 c2 c3

______

=

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

______

a1 a2 ka2 + a3

b1 b2 kb2 + b3

c1 c2 kc2 + c3

______

=

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la

diagonal principal. ______

a11 :: ::

0 a22 ::

0 0 a33

______

= a11 a22 a33

6. Si A tiene un rengl_on (o columna) de ceros, entonces jAj = 0.

______

a1 a2 a3

0 0 0

c1 c2 c3

______

= 0

______

a1 a2 0

b1 b2 0

c1 c2 0

______

= 0

7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son iguales, entonces jAj = 0.

______

a1 a2 a3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

______

= 0

______

a1 a2 a1

b1 b2 b1

c1 c2 c1

______

= 0

8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son m_ultiplos entre s__, entonces jAj = 0.

______

a1 a2 a3

ka1 ka2 ka3

c1 c2 c3

______

= 0

______

a1 a2 ka1

b1 b2 kb1

c1 c2 kc1

______

= 0

2

9. Si A es cualquier matriz de n _ n y k es cualquier escalar, entonces

jkAj = kn jAj

10. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores.

jABj = jAj jBj

jA1A2 _ _ _Amj = jA1j jA2j _ _ _ jA3j